Lorentzkraft oder Das bewegte
Elektron
Magnetische Felder
können sich entweder aus bewegten Ladungen oder
entsprechend den Maxwellschen Gleichungen aus
zeitabhängigen elektrischen
Feldern ergeben. Dieser Aufsatz hier beschäftigt
sich vornehmlich mit magnetischen Feldern, die
aus bewegten Ladungen entstehen und geht davon
aus, dass die Coulombfelder der Elektronen instantan
sind, also unmittelbar im ganzen Raum auf einen
Ortswechsel des Elektrons reeagieren:
Wenn man für ein gegebenes Bezugssystem die
Geschwindigkeit v eines
Elektrons bereits kennt, kann man die Bewegung
dieses Elektrons wie folgt beschreiben: Man überlagert
das Elektron mit einem elektrischen Dipol, dessen
negativer Pol -e
sich zur Zeit t am
augenblicklichen Ort des Elektrons und dessen positiver
Teil sich am Ort des Elektrons zur Zeit t+dt
befinden wird. Der negative Pol des Dipols hebt
bei der Überlagerung das Elektron an der Stelle
auf, wo es war, und sein positiver Pol platziert
das Elektron an die Stelle, an der es sich zur
Zeit t+dt befinden soll. Da die
Gesamtladung des Dipols gleich Null ist, ändern
sich während der Überlagerung die Ladung und
die Form des Elektrons nicht. Der Abstand der
beiden Pole des Dipols beträgt dabei v*dt,
und wenn dt als infinitesimale
Größe chließlich gegen Null gegangen ist,
heben sich die beiden elektrischen Pole dieses
Dipols und damit auch deren elektrische
Coulombfelder gegenseitig auf und aus dem
elektrischen Dipol ist ein magnetischer
Dipol der Stärke e*v
entstanden, der praktisch keine von Null
verschiedenen elektrischen Ladungen mehr enthält.
Die beiden Pole des Dipols sind nicht nur erdacht,
sondern sie existieren notwendig, um das Elektron
zu bewegen und bilden die Grundlage für die
Existenz eines Magnetfeldes, welches das bewegte
Elektron umgibt.
Das magnetische Feld eines
solchen magnetischen Dipols ergibt sich
entsprechend als Vektorgradient (vgrad r*e/|r*r*r|)
. Dieses Feld beschreibt also das Nebeneinander
von zwei elektrischen Coulombfeldern,
die zwar existieren, sich aber in ihrer Wirkung
auf eine mit der Geschwindigkeit v
bewegte elektrische Probeladung wegheben, weil
die Mittelpunkte ihrer Pole nur einen
infinitesimal kleinen Abstand haben. Die magnetische
Feldstärke ist ein Vektor, der
proportional zu dem Vektor von einem der beiden
beteiligten Coulombfelder an der betreffenden
Stelle gewählt werden kann.
Mithilfe dieser Dipole kann man also ein bewegtes
Elektron nicht nur - wie üblich - als Abfolge
geladener und unbewegter Massenpunkte zu den
Zeitpunkten t behandeln, sondern
man erfasst zusätzlich die magnetischen
Konsequenzen, die eine Bewegung
des Elektrons mit sich bringt. Ein so
beschriebenes Magnetfeld bewegt sich mit dem
Elektron mit und hat eine Stärke, die
proportional zur Geschwnindigkeit des Elektrons
ist. Außerdem gelingt es mit einer solchen
Interpretation der Bewegung eines Elektrons -
jedenfalls soweit ich das überblicken kann - erstmalig
ohne SRT die Formel
der Lorentzkraft herzuleiten und
nicht nur ihre Eigenschaften aufgrund einer -
übrigens bisher fehlerhaften -
Formel zu beschreiben. Weiter unten werde ich
ausführlicher darauf zu sprechen kommen. Ein
Vorteil dieser Beschreibung der Bewegung des
Elektrons ist, dass in ihr bereits die
Abhängigkeit des Magnetfeldes von dem gewählten
Bezugssystem implementiert ist
und nicht erst gesondert, zum Teil mithilfe der
SRT, berücksichtigt werden muss. Besonders
wichtig ist aber auch, dass durch diese
Beschreibung zum Ausdruck gebracht wird, dass das
elektronen-gebundene - also
nicht das freie - Magnetfeld letztlich immer
aus zwei sich aufhebenden elektrischen
Coulombfeldern besteht. Eine Ausnahme von dieser
Behauptung könnte der Elektronenspin
mit seinem rätselhaften magnetischen Moment
bilden. Er ist deswegen rätselhaft,
weil der Elektronenspin von keinem
Bezugssystem abhängt und dessen
Magnetfeld sich damit anders als die "normalen"
Magnetfelder benimmt. Während bei üblichen
Versuchen mit Elektronen die magnetischen Dipole
ihrer Spins nicht aufzufallen brauchen, weil ihre
Spins sich gegenseitig aufheben könnten, spielen
sie für ferromagnetische Permamentmagnete eine
große Rolle.
Nun könnte man gegen diese Beschreibung der
Bewegung eines Elektrons, von der hier
die Rede ist, einwenden, dass sie gegen das PEW
verstößt, weil die Dipolfelder eines bewegten
Elektrons, d.h. also die Magnetfelder, ebenso wie
die Geschwindigkeit des Elektrons von einem
willkürlich wählbaren Bezugssystem abhängen.
Dieser Einwand ist jedoch nicht stichhaltig, weil
das PEW nur sich widersprechende
galilei-invariante Ereignisse
verbietet. Tatsächlich ist aber ein Magnetfeld
nicht galilei-invariant. Erst seine Lorentzkräfte
können galilei-invariante Ereignisse hervorrufen,
müssten aber dafür statt von einfachen
Geschwindigkeiten von Geschwindigkeits-Differenzen
abhängen, die allerdings in der
ülichen Definition der Lorenzkraft bisher nicht
enthalten sind
Bei den Coulombfeldern der Dipole handelt es sich
um instantane Felder, die keine
Energie von dem mit der Geschwindigkeit v
bewegten Elektron abtransportieren, die retardiert
ist, was dann auch für die sich aus diesen
Coulombfeldern ergebenden Magnetfelder gilt.
Anderenfalls hinge die irreversibel
abtransportierte Energie von dem für die
Definition von v willkürlich
gewählten Bezugssystem ab, was gegen das PEW
verstoßen könnte.
Die Lorentzkraft
Wenn sich eine elektrische Probeladung
in dem Magnetfeld B von einem
der gerade beschriebenen Dipole mit einer
Geschwindigkeit v1 bewegt, die ungleich
der Geschwindigkeit v dieses
Dipols bzw. des Elektrons ist, kann sie durchaus elektrische
Kräfte verspüren, wenn sie auf ihrem Weg die
beiden Coulombfelder des Dipols nicht senkrecht (wobei
sich die verspürten Kräfte wegheben würden)
sondern schräg durchfliegt. Man nennt diese
resultierenden Kräfte Lorentzkräfte.
Eine Lorentzkraft K wird bisher
üblicherweise durch die Formel
K=e*[v1*B] .....................................(1)
beschrieben ( "[]" steht für
Kreuzprodukt), wobei B die
magnetische Feldstärke und v1 die
Geschwindigkeit der Probeladung
e sind. Im allgemeinen besteht B
aus der Überlagerung sehr vieler
Dipolfelder. Für das Folgende beschränke ich
mich aber zunächst auf das Magnetfeld nur
eines magnetischen Dipols, der sich mit
der Geschwindigkeit v bewegt.
Das Bezugssystem für die Bestimmung von v
ist zwar beliebig, aber man sollte bedenken, dass
mit seiner bewusst oder unbewusst getroffenen
Wahl stets eine Beeinflussung dieses von v
erzeugten magnetischen Dipolfeldes einhergeht.
Über das Bezugssystem für v1
wird jedoch in der Formel (1) für K
keine Angabe gemacht, obwohl dies dringend
erforderlich wäre, und zwar nicht nur, um
richtige Ergebnisse zu erhalten sondern auch, um
eine Verletzung des PEW zu vermeiden, die immer
dann entsteht, wenn sich in einer physikalischen
Formel eine mit keiner anderen
Geschwindigkeit gepaarte Geschwindigkeit befindet.
Akzeptabel ist dagegen für K
die Formel
K=e*[(v1 -- v)*B], ............................ (2)
die gleichbedeutend damit ist, dass sich v1
auf die Geschwindigeit v des Dipols
bezieht. Wenn in dieser Formel v1
gleich v ist, hat K
erwartungsgemäß den Wert Null. "Erwartungsgemäß",
weil es ein Bezugssystem gibt, in dem das
Elektron und die Probeladung ruhen und eine
ruhende elektrische Probeladung von einem
Magnetfeld definitionsgemäß keine Kraft
verspürt. Ebensowenig kann eine elektrische
Probeladung eine Kraft verspüren, wenn sie sich
entlang einer Magnetlinie bewegt, auf der also
das Magnetfeld einen konstanten Betrag hat und
längs der Magnetlinie höchstens seine Richtung
ändert. Das erklärt bereits, warum K
nach (2) proportional zu |B|*sin(Alpha) ist,
wobei Alpha der Winkel zwischen B
und (v1 - v) ist.
.Schwieriger ist die Beantwortung der Frage
Wieso steht K senkrecht auf (v1 -v )?
Wenn v1 gleich v
ist, erfährt ein Probeelektron, wie schon
erwähnt, überhaupt keine Lorentzkraft. Beide
Coulombkräfte des Dipolfeldes stehen senkrecht
sowohl auf v1 wie auf v,
was für die folgende Gedankenführung wichtig
ist, und heben sich gegenseitig auf. Weicht
jedoch v1 von v ab,
vergrößern oder verkleinern sich diese für das
Probeelektron wirksam werdenden Coulombkräfte
und zwar senkrecht zu (v1 - v),
und das ist bereits die gesuchte Antwort. Das
bedeutet, dass die kinetische Energie des
Probeelektrons durch diese Lorentzraft nicht
verändert und das Probelektron durch sie auf
eine Kreisbahn abgelenkt wird.
Kann jedoch aus irgendwelchen Gründen die
Probeladung diesem abgeänderten Weg nicht folgen,
kann sie also nicht mehr nur senkrecht zu v1
abgelenkt werden und erfährt durch die
Lorentzkraft eine Energieänderung,
die nur von jenem Elektron "finanziert"
werden kann, dessen Bewegung mithilfe der Dipole
beschrieben wird. Ein solcher Grund könnte z.B.
sein, dass die Probeladung sich nur innerhalb
eines dünnen Drahtes bewegen
kann. In einem solchen Fall ist dann auch die
Formel (2) für die Lorentzkraft,
derzufolge K stets senkrecht auf
(v1 -v ) steht, nicht in
der Lage, den tatsächlichen Sachverhalt
ohne Berücksichtigung der
störenden Nebenbedingungen richtig zu
beschreiben. Richtig ist also auch die
verbesserte Formel (2) nur dann, wenn
die Flugbahn der Probeladung nicht durch
Randbedingungen beeinflusst wird. Nach
dem Prinzip "actio gleich reactio"
erfährt das mit der Geschwindigkeit v
fliegende Elektron mithilfe seiner Pole die
Gegenkraft zu der Lorentzkraft.
Mag sein, dass man die von mir angebotene
Beschreibung der Bewegung eines Elektrons als Spielerei
abtut, ich halte jedoch die Vorteile, die sie
bietet, für so wichtig, dass ich glaube, sie
findet irgentwann allgemeine Anerkennung.
Jedenfalls ist die bisher allgemein benutzte
Formel (1) für die Lorentzkraft falsch, da sie
gegen die Eindeutigkeit unserer Kausalkette
verstößt
Die Lorentzkraft zwischen zwei Elektronen
Haben zwei Elektronen dieselbe Geschwindigkeit,
so stoßen sie sich, von jedem Bezugssystem aus
gesehen, einfach ab, ohne dabei von dem Dipol des
jeweils anderen Elektrons eine Lorentzkraft
erfahren zu haben. Es gibt aber solche Kräfte
auch nicht, weil die Relativgeschwindigkeit
jedes der beiden Elektronen zum Dipolfeld des
anderen Elektrons gleich Null ist.
Ist die Relativgeschwindigkeit v1 - v zwischen
den beiden Elektronen von Null
verschieden, kann man ein Bezugssystem
wählen, in dem das eine Elektron ruht (v
= 0) und das andere mit der von
Null verschiedenen Geschwindigkeit v1
sich als Probeladung auf das ruhende Elektron zu-
oder wegbewegt. Das "bewegte" Elektron
verursacht also kein Magnetfeld, da es sich nicht
bewegt. Das andere dagegen bewegt
sich zwar als Probeladung, tut dies aber in einem
Raum, in dem es kein Dipolfeld gibt und empfindet
deshalb auch keine Lorentzkraft. Das heißt, die
beiden Ladungen stoßen sich, ohne eine
Lorentzkraft zu empfinden, gemäß ihrer
einfachen Coulombkräfte gegenseitig ab.
.
Zwei parallele gleich schnell durchflossene
Drähte
Im Internet wird unter dem Suchbegriff
"Parallele Leiter" mehrfach diskuttiert,
was passiert, wenn zwei nebeneinander
liegende parallele gerade Drähte von
gleichstarken elektrischen Strömen durchflossen
werden, und man kommt zu dem Ergebnis, dass sich
beide Drähte anziehen, wenn in
beiden Drähten die Stromrichtung dieselbe ist
und sich abstoßen, wenn die
Stromrichtung entgegengesetzt verläuft. In allen
diesen Arbeiten wird die Lorentzformel (1)
benutzt. Da die Ionen der
Drähte ruhen, kümmert man sich nur um jene
Elektronen, die in dem einen Draht ein Magnetfeld
erzeugen, in dem die Elektronen des anderen
Drahtes als Probeladungen gemäß Formel (1) eine
Lorentzkraft erfahren. Man hatte also für den
Fall gleichgerichteter
Elektronengeschwindigkeiten zwei Fehler gemacht,
deren Konsequenzen sich aber aufgehoben haben.
Der erste Fehler war, dass man die fehlerhafte
Formel (1) benutzte und der zweite Fehler ergab
sich dann zwangsläufig, indem man die Ionen
nicht beachtete.
Tatsächlich üben im Falle gleichgerichteteter
Elektronengeschwindigkeiten die Elektronen
aufeinander keine Lorentzkraft
aus, da ihre Relativgeschwindigkeit gleich Null
ist. Dagegen besteht eine von Null verschiedene
Relativgeschwindigkeit der Elektronen gegenüber
den Ionen des anderen Drahtes.
Das bedeutet, man kann das Ergebnis der Internet-Behandlung
für den Fall entgegengesetzter
Elektronenbewegung (dort) für
den Fall gleicher Stromrichtung (hier)
benutzen, wenn man die Probeelektronen (dort)
durch die Probeionen (hier)
ersetzt und bedenkt, dass die Relativbewegung (hier)
nur halbso groß ist wie (dort) und
dass die Ladungen der Probeelektronen (dort)
das andere Vorzeichen haben als (hier),
was bedeutet, dass statt der Abstoßung (dort)
eine halbsogroße Anziehung (hier)
zu erwarten ist.
Für den Fall der unterschiedlichen
Stromrichtungen üben die Elektronen
des einen Drahtes auf die Elektronen
des anderen Drahtes eine Lorentzkraft aus, weil
ihre Relativgeschwindigkeit von Null verschieden
und zwar doppelt so groß wie ihre
Geschwindigkeit gegenüber den Drähten ist, und
man kann die im Internet zu findenden
Überlegungen (hier) übernehmen.
Lediglich halbiert sich (hier)
die Lorentzkraft (dort), weil
auch die Ionen eine und zwar wegen ihrer Ladung
entgegegesetzte Lorentzkraft und zwar mit einer
gegenüber den Elektronen halb so großen
Relativgeschwindigkeit erfahren. Es bleibt aber
die im Internet zu findende Aussage insofern
richtig, dass die beiden Drähte sich abstoßen.
Dynamo und Elektromotor
Wenn sich der Magnet gleichförmig gegenüber
einem ruhenden Probeelektron bewegt, kann man auf
ein Bezugssystem übergehen, in dem der Magnet
ruht und das Elektron sich bewegt: Das Elektron
erfährt dann - wie bereits behandelt - eine
Lorentzkraft, und wenn sie wegen irgendwelcher
Nebenbedingungen ihr nicht frei folgen kann,
erfährt der Magnet die Reaktionskräfte. Das
bedeutet, wenn man einen Magneten über einen
Draht hinweg bewegt, bildet sich in dem Draht
eine elektrische Spannung und die Bewegung des
Magneten erfordert dafür eine gewisse Arbeit.
Das liefert das Grundprinzip, auf dem z.B. ein Fahrraddynamo
beruht. Für die Umwandlung eines elektrischen
Stromes in eine Arbeitsleistung (Elektromotor)
sorgt dagegen jene Lorentzkraft, die senkrecht
auf dem stromdurchflossenen, z.B. drahtförmigen
Leiter oder jeder Windung ener Spule in einem
Magnetfeld steht
Die Lorentzkraft auf eine Probeladung im
Felde eines Permanentmagneten
Ob ein Körper überhaupt ein Dauer- oder
Permanentmagnet ist, hängt davon ab, ob die
Bewegungen seiner vielen elektrischen Ladungen
eine auf diesen Körper bezogene ortsabhängige
Vorzugsrichtung haben. Die magnetische
Feldstärke B eines Permanentmagneten
hängt jedoch nicht von seiner
Geschwindigkeit ab, weil er elektrisch
neutral ist und weil er damit die bei
einer Bewegung des Permanentmagneten veränderte
Geschwindigkeit seiner Elektronen kompensiert
durch die gleichermaßen veränderte
Geschwindigkeit seiner Ionenrümpfe
mit entgegesetzten Vorzeichen ihrer Ladungen. Das
ändert sich auch nicht, wenn sich die Dipole des
Magneten in Weißschen Bezirken
"organisieren", solange die Dipole der
Elektronen und der Atomrümpfe immer in
gleicher Weise, jedoch mit
entgegengesetzten Vorzeichen, vom Bezugssystem
für den Permamentmagneten abhängen. Ebensowenig
kann die Wirkung von Elektronenspins
auf die Magnetstärke eines Permanentmagneten von
seiner Bewegung beeinflusst werden, da diese
generell von keinem Bezugssystem abhängen.
Die Geschwindigkeit einer Probeladung kann sich
in der Formel für seine Lorentzkraft
naturgemäß nicht auf die Geschwindigkeit eines
bestimmten Elektrons beziehen, wenn das
Magnetfeld von einem Permanentmagneten stammt.
Bei den vielen Elektronen und Atomrümpfen eines
solchen Magneten überlagern
sich deren Dipolfelder und damit deren
Lorentzkräfte auf eine Probeladung. In der
Lorentzformel (2) für die Probeladung bezieht
sich dann deren Geschwindigkeit v1
auf den Mittelwert v
der Geschwindigkeiten der Elektronen und
Atomrümpfe des Permanentmagneten, deren Mittlungsgewichte
von der Stärke der von ihnen am Ort der
Probeladung erzeugten Magnetfelder abhängen. Das
bedeutet, dass dieser Mittelwert v
vom Ort der Probeladung bezogen
auf den Permanentmagneten abhängt, was sehr
ungewöhnlich ist
Beteiligen sich an dem Magnetfeld, in dem sich
die bewegte Probeladung befindet, mehrere
Permanentmagnete, bedeutet das, dass
für die Berechnung der Bezugsgeschwindigkeit
v in (2) auch die Geschwindigkeiten
aller dieser Permanentmagnete gemäß ihrer
Anteile an dem Magnetfeld, in welchem sich die
Probeladung befindet, gemittelt
werden müssen.
Die "überforderte"
Stromstärke
Die in einem Leiter herrschende elektrische
Stromstärke I sagt aus, wieviel
Ladung - oder bei einem ruhenden Leiter -
wieviele Elektronen durch einen Querschnitt des
Leiters pro Zeiteinheit fließen. Passieren
z Elektronen pro Zeiteinheit den
Querschnitt eines Leiters, so ist damit zwar die
Stromstärke des Leiters festgelegt aber noch
nichts Genaues über die Geschwindigkeit
der Elektronen gesagt. Bewegen sie sich in einer
hohen Dichte n, wäre ihre
Geschwindigkeit kleiner als wenn
sie sich in einer kleinen Dichte n
bewegen. Dabei besagt die Dichte, wieviele
Elektronen sich im Mittel zugleich in einem
Einheitsvolumen befinden. Es gelten die Formeln
I = U/R
I = n * f * v
v = U / (R * f * n) = U / (Rho * n)
Dabei sind I die
Stromstärke, U die Spannung, R
der Widerstand des Leiters, f
die Querschnittsfläche des Leiters, n
die Zahl von Elektronen pro Volumeneinheit, Rho
der Widerstand pro Flächeneinheit und
v die Geschwindigkeit der
Elektronen
Die Geschwindigkeit der Elektronen
hängt also außer von der angelegten Spannung U,
die man gut kontrollieren kann, auch noch von dem
Widerstand Rho des Leiters pro
Einheit der Querschnittsfläche f
und von der Dichte n der
Elektronen in dem Leitermaterial ab.
Da die Geschwindigkeit der
Elektronen, die an den elektrischen Strömen
beteiligt sind, in den Maxwellgleichungen nicht
erwähnt werden, taucht sie in den heutzutage
bekannten physikalischen Gesetzen nirgends auf,
obwohl sie eigentlich in der Formel für die
Lorentzkraft eine entscheidende Rolle spielt.
Hat das "Magnetfeld" einer
elektromagnetischen Welle wirklich den Charakter
eines Magnetfeldes?
Da es keine Versuche gibt, mit denen man die
beiden Felder einer elektromgnetischen
Welle auf ihre Eigenschaften hin
überprüfen könnte, drängt sich schließlich
die Frage auf, ob z.B. das Magnetfeld einer
Lichtwelle in der Lage ist, auch ohne
Dipole Lorentzkräfte zu erzeugen, denn es ist
ganz sicher, dass es in einer Lichtwelle keine
Dipole gibt, die den magnetischen Teil einer
solchen Welle erzeugen könnten. Da man aber eine
Wellengleichung erhält, wenn
man entweder den elektrischen oder den
magnetischen Teil in den Maxwellgleichungen
eliminiert, sollen hier die Maxwellgleichungen
für diese "dipol-freien"
elektromagnetischen Felder nicht in Zweifel
gezogen werden.
So, wie die kinetische Energie
einer gleichförmig bewegten
Materie von dem Bezugssystem abhängt, in dem
ihre Geschwindigkeit definiert ist, hängt auch
das Magnetfeld eines elektrischen Stromes und
damit auch dessen Energie von dem gewählten
Bezugssystem ab. In beiden Fällen können diese
Energien nicht abgestrahlt werden, da eine
Abstrahlung irreversibel und Teil der Kausalkette
ist, die nicht von den Bezugssystemen abhängen
darf, um eindeutig zu bleiben. In meinem Aufsatz
über "Bremsstrahlunng" zeige ich, dass
nur eine zeitlich wechselnde potentiellen
Energie eines gleichförmig bewegten
Elektrons abgestrahlt werden kann, ohne die
Eindeutigkeit unserer Kausalkette zu verletzen.
Fazit
Die Bewegung eines Elektrons wird auf einne etwas
ungewöhnliche Weise beschrieben, mit der man
aber in der Lage ist, alle elektromagnetischen
Probleme ohne Zuhilfenahme der SRT zu verstehen
und prinzipiell zu lösen, soweit sie elektronen-gebunden
sind - jedenfalls soweit ich das sehen kann.
Dabei wird der Zusammenhang der magnetischen und
elektrischen Felder beschrieben. Ferner wird die Lorentzkraft
erklärt und für sie eine verbesserte Formel
angegeben, die mit der geforderten Eindeutigkeit
unserer Kausalkette in Einklang steht
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