Der
Comptoneffekt
Wenn es so ist, dass die ausgesandten Lichtqumten
sich nach ihrer Absendung aus einem Atom sehr
rasch verdünnen und dass Absorptionen durch
Wellenpakete zustande kommen, die von einem
absorbierenden Atom aus dem Wellenfeld "herausgefischt"
werden, so fragt es sich, was einen Comptoneffekt
bewirkt. Der Comptoneffekt beschreibt etwas über
den den Stoß des elektromagnetischen
Wellenfeldes auf ein ruhendes Elektron. und es
ist die Frage, ob er sich nur auf
absorptionsfähige Wellenpakete, also auf Photonen
oder bereits auf jede Welle bezieht, die auf ein
ruhendes Elektron trifft. Wenn h
in der Comptonformel zurecht eine Rolle spielt,
sollte eigentlich der Comptonefekt nur mit
solchen Wellenpaketen und deren Vorgeschichte
funktionieren. Dementsprechend wurde auch der
Comptoneffekt als Beweis für die reale Existenz
der Photonen gefeiert.
Das Impulsdreieck, das den
Impulssatz für den Stoß auf das Elektron
graphisch darstellt, zeigt, dass
bei gleichbleibenden Ablenkwinkel
der stoßenden Welle unabhängig
von ihrer ursprünglichen Stärke
auch jene Richtung gleich bleibt, mit der das
gestoßene Elektrons dann losfliegt. Lediglich
der Betrag des Impulses des
Elektrons nach dem Stoß reagiert proportional
auf die Größe des Eingang-Impuls der stoßenden
Welle. Das deutet darauf hin, dass der
Comptoneffekt nicht nur für stoßende Photonen
sondern auch für beliebig kleine stoßende
Wellen gilt.
Die empirisch bewährte Formel für den
Comptoneffekt ist mithilfe der speziellen
Relativitätstheorie abgeleitet worden. Sie
lautetlamda1 -
lamda2 = lamda0* (1 - cos(Alpha))
Dabei sind
lamda0 = h / (m*c) die Compton-Wellenlänge
lamda1 und lamda2
die Wellenlängen des stoßenden Photons vor und
nach dem Stoß
h das Plancksche Wirkungsquantum
m die Masse des gestoßenen
Elektrons
c die Lichtgeschwindigkeit.
Alpha der Ablenkwinkel des
stoßenden Photons
Diese Formel zeigt, dass die Wellenlängenänderung
der stoßenden Welle auch nicht von deren
Wellenlänge vor dem Stoß abhängt sondern ein-eindeutig
nur vom Ablenkwinkel Alpha. Da
somit die Geschwindigkeit des gestoßenen
Elektrons gegenüber der Lichtgeschwindigkeit
auch sehr klein sein kann, habe ich im Folgenden
eine Herleitung der Comptonformel ohne
SRT beschrieben, die zumindest für
solche kleinen Geschwindigkeiten des Elektrons
richtig sein sollte. Das Ergebnis bezieht sich
auf dasjenige Bezugssystem, in dem das Elektron
vor dem Stoß ruhte.
Für die Herleitung dieser Formel braucht man die
Formulierung des Impulses m*v
des Elektrons nach dem Stoß mit v
als Geschwindigkeit des Elektrons nach dem Stoß.
Und man braucht die Formulierung des Impulses
eines Ausschnitts jener Welle,
mit der der Stoß passiert. Eine solche
Formulierung zu finden ist recht problematisch,
da wir von einer elektromagnetischen Welle weder
die Amplitude noch die Breite oder die Anzahl
ihrer Wellenberge noch ihre Energie oder ihren
Impuls sondern nur ihre Frequenz kennen. Darüber
hinaus kennen wir nur die Energie und den Impuls
von ganzen Wellenpaketen, die als Photonen von
Atomen absorbiert werden. Das heißt also, wir
kennen herzlich wenig von dem
kleinen Wellen-Ausschnitt, in dem der Stoß mit
dem Elektron stattfindet. Da wir aber nichts
Besseres haben, bleibt nur übrig, für
diesen Ausschnitt alle Wellen
mitzunehmen, die später als ein Photon der
immerhin bekannten Frequenz von
einem Atom absorbiert werden können. Dies
erklärt, warum der Comptoneffekt überhaupt
etwas mit den Photonen zu tun hat, was u.a. zur
Folge hat, dass Energie und Impuls des
betrachteten Photons viel größer sind als die
Energie und der Impuls, die auf das Elektron beim
Stoß übertragen werden. Glücklicherweise kommt
es aber nur auf die Differenz
dieser Größen vor und nach dem Stoß an und
nicht auf diese Größen selbst.
Der Impulssatz lautet dann mit den Frequenzen Nue
und Nue' als Vektoren
h*(Nue
- Nue')/
c = m*v
und der Energiesatz
h*(Nue - Nue') = v*v*m /2
Quadriert wird daraus
h*h*(Nue*Nue + Nue'*Nue' - 2*Nue*Nue') = v*v*v*v*m*m
/4
-
Der Cosinussatz für die Impulse lautet
m*m*v*v*c*c = h*h*(Nue*Nue
+ Nue'*Nue'- 2*Nue*Nue'*cos(Alpha))
Ersetzt man hier die beiden reinen Quadrate auf
der rechten Seite durch die entsprechenden
Größen der darüber stehenden Gleichung,
erhält man
m*m*v*v*c*c = h*h*(2*Nue*Nue' + v*v*v*v*m*m
/4* - 2*Nue*Nue'*cos(Alpha))
oder
m*m*v*v*c*c = h*h*( v*v*v*v*m*m /4*
- 2*Nue*Nue'*(1 - cos(Alpha))
m*m*v*v*(1 - v*v/(4*c*c)) = 2*h*h*Nue*Nue'
* (1 - cos(Alpha))
2*m*m*v*v*(1 - v*v/(4*c*c))/2 = 2*h*h*Nue*Nue'
* (1 - cos(Alpha))
m*m*v*v*(1 - v*v/(4*c*c))/2 = h*h*Nue*Nue'
* (1 - cos(Alpha))
Ersetzt man hier m*v*v/2 durch
h*(Nue - Nue') erhält man
m*(Nue - Nue')*(1 - v*v/(4*c*c)) = h*Nue*Nue' * (1
- cos(Alpha))
oder
m*(Nue - Nue') /(Nue*Nue') * (1 - v*v/(4*c*c)) =
h *(1 - cos(Alpha)
oder, um die Wellenlängen Lamda
einzuführen mit Nue = c/ Lamda und
Nue' = c/ Lamda'
Lamda' - Lamda = h/ / [m*c*(1 - (v*v/(4*c*c)] * (1
- cos(Alpha))
Ist v klein gegen
c, erhält man die bekannte
Comptonformel mit der Comptonwellenlänge
Lamda0 = h/ (m*c)
Lamda0 = h/ (m*c)
Fazit
Der Comptoneffekt handelt von der Ablenkung einer
elektromagnetischen Welle infolge eines Stoßes
an einem ruhenden Elektron. Dabei kann die
stoßende Welle beliebig klein
sein. Da der Comptoneffekt ein Differenzeffekt
ist, kann er mithilfe des Photonenbildes erklärt
werden
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